Question

【題目】已知二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（﹣1，0）和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）連接CP，△DCP是什么特殊形狀的三角形？并加以說明；
（3）點(diǎn)Q是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，且滿足∠QEO=∠BEO，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y= x2+bx+c，

得到 ，

解得 ，

∴二次函數(shù)解析式為y= x2﹣x﹣ ．

（2）

解：結(jié)論：△DCP是等腰直角三角形．

理由：對(duì)于拋物線y= x2﹣x﹣ ，令y=0，則 x2﹣x﹣ =0，解得x=﹣1或3，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3，0），

令x=0則y=﹣ ，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（0，﹣ ），

∵y= x2﹣x﹣ = （x﹣1）2﹣2，

∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)（1，﹣2），點(diǎn)D坐標(biāo)（1，0），

∴CD=PD=2，

∵∠PDC=90°，

∴△PDC是等腰直角三角形．

（3）

解：如圖，連接BE、DE．

∵B（﹣1，0），D（1，0），E（0，﹣ ），

∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，

∴△EOB≌△EOD，

∴∠DEO=∠BEO，

∴直線DE與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．

設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，則有 ，

解得 ，

∴直線DE的解析式為y= x﹣ ，

由 解得 或 ，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（5，6）

【解析】（1）把A（﹣3，6），B（﹣1，0）代入y= x2+bx+c，解方程組即可解決問題．（2）結(jié)論：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．（3）如圖，連接BE、DE．只要證明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直線DE與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．求出直線DE的解析式，解方程組即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．