Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為夢之點，例如，點（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（， ），…，都是夢之點，顯然夢之點有無數個．

（1）若點 P（2，b）是反比例函數 (n 為常數，n ≠ 0) 的圖象上的夢之點，求這個反比例函數解析式；

（2）⊙ O 的半徑是 ，

①求出⊙ O 上的所有夢之點的坐標；

②已知點 M（m，3），點 Q 是（1）中反比例函數 圖象上異于點 P 的夢之點，過點Q 的直線 l 與 y 軸交于點 A，tan∠OAQ＝ 1．若在⊙ O 上存在一點 N，使得直線 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析式為；

（2）①⊙ O 上的所有夢之點的坐標為（1,1）或（-1,-1）；②m 的取值范圍是-5≤m≤-1或1≤m≤5.

【解析】試題分析：（1）由夢之點坐標特點可得b=2,再將P坐標代入中，即可求得n的值；（2）①設⊙O上夢之點坐標是（a,a），由圓的半徑是得：

則a=1或a=-1，所以⊙O上所有夢之點坐標是（1,1）或（-1,-1）；② 由（1）可得，異于點P的夢之點是（-2,-2），設直線MN為y=-x+b，求得m的取值范圍；當直線MN為y=x+b時，求得m的取值范圍；

試題解析：

解：(1) ∵P（2,b）是夢之點

∴b=2

∴P（2,2）

將P（2,2） 代入 中得n=4

∴反比例函數解析式是

(2) ①∵⊙O的半徑是

設⊙O上夢之點坐標是（a,a）

∴

∴

a=1或a=-1

∴⊙O上所有夢之點坐標是（1,1）或（-1,-1）

②由(1)知，異于點P的夢之點是（-2,-2）

∵tan∠OAQ=1

∴∠OAQ==45°

由已知MN∥l或MN⊥l，如圖所示：

∴直線MN為y=-x+b或y=x+b

當MN為y=-x+b時，m=b-3

由圖可知，當直線MN平移至與⊙O相切時，

且切點在第四 象限時，b取得最小值，

此時MN 記為 ，

其中 為切點， 為直線與y軸的交點。

∵△O 為等要直角三角形，

∴O = ∴O=2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

當直線MN平移至與⊙O相切時，切點在第二象限時，

b取得最大值，此時MN 記為 ，

其中 為切點， 為直線與y軸的交點。

同理可得，b的最大值為2，m的最大值為-1.

∴m的取值范圍為-5≤m≤-1

當直線MN為y=x+b時，

同理可得，m的取值范圍為1≤m≤5，

綜上所述，m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5.