Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果AD=5，AE=4，求AC長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵AD為∠CAB的平分線，

∴∠CAD=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠BAD=ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠E+∠EDO=180°，

又∵AE⊥ED，即∠E=90°，

∴∠EDO=90°，

則ED為圓O的切線

（2）解：連接BD，如圖2所示，過點A作AF⊥AC，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，cos∠DAB= ，

在Rt△AED中，AE=4，AD=5，

∴cos∠EAD= = ，又∠EAD=∠DAB，

∴cos∠DAB=cos∠EAD= = ，

則AB= AD= ，即圓的直徑為 ，

∴AO= ，

∵∠E=∠EDO=∠EFO=90°，

∴四邊形EFOD是矩形，

∴OF=DE=3，

∴AF= = ，

∴AC=2AF= ．

【解析】（1）連接OD，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OA=OD，得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行可得AE與OD平行，由兩直線平行同旁內角互補，得到∠E與∠EDO互補，再由∠E為直角，可得∠EDO為直角，即DE為圓O的切線，得證；（2）連接BD，過點A作AF⊥AC，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，得到∠ADB為直角，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數定義得到cos∠DAB的值，又在直角三角形AED中，由AE及AD的長，利用銳角三角函數定義求出cos∠EAD的值，由∠EAD=∠DAB，得到cos∠EAD=cos∠DAB，得出cos∠DAB的值，即可求出直徑AB的長，由勾股定理和垂徑定理即可求出AC長．