Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將二次函數的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度，得到二次函數圖象N．

（1）求N的函數表達式；

（2）設點P（m，n）是以點C（1，4）為圓心、1為半徑的圓上一動點，二次函數的圖象M與x軸相交于兩點A、B，求的最大值；

（3）若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數，則該點稱為整點．求M與N所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點的個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）25．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數N的圖象是由二次函數M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函數N的頂點坐標即可解決問題．

（2）由=可知OP最大時，最大，求出OP的最大值即可解決問題．

（3）畫出函數圖象即可解決問題．

試題解析：（1）解：二次函數的圖象M沿x軸翻折得到函數的解析式為，此時頂點坐標（0，1），將此圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度得到二次函數圖象N的頂點為（2，9），故N的函數表達式，即．

（2）∵A（﹣1，0），B（1，0），∴===，∴當PO最大時最大．如圖，延長OC與⊙O交于點P，此時OP最大，

∴OP的最大值=OC+PO=，∴最大值==．

（3）M與N所圍成封閉圖形如圖所示：

由圖象可知，M與N所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點的個數為25個．