Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，

BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，請寫出DE、AD、BE之間的等量關系并加以證明.

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=AD-BE,證明見解析；（3）見解析.

【解析】（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余關系可證∠DAC=∠ECB，可證△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此時，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用線段的和差關系得DE=AD-BE．

證明：（1）∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，

∴△ADC≌△CEB．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）DE=AD﹣BE

證明：∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．

易證得△ACD≌△CBE，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CD- CE =BE﹣AD．

“點睛”本題考查了用旋轉法尋找證明三角形全等的條件，關鍵是利用全等三角形對應線段相等，將有關線段進行轉化．