Question

【題目】如圖所示：∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，到頂點(diǎn)O的距離為5cm，M、N分別是射線(xiàn)OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)．若∠AOB =30，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為________.

Answer 1

【答案】5cm

【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C.D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN.

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,

∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；

∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，

∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，

∴OC=OD=OP=5cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD=OC=OD=5cm.

∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=5cm.

∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為5cm.

點(diǎn)睛: 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題, 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最小．