Question

【題目】數學實驗室：

點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=|a﹣b|．

利用數形結合思想回答下列問題：

（1）數軸上表示2和6兩點之間的距離是　　，數軸上表示1和﹣4的兩點之間的距離是　　．

（2）數軸上表示x和﹣3的兩點之間的距離表示為　　．數軸上表示x和6的兩點之間的距離表示為　　．

（3）若x表示一個有理數，則|x﹣1|+|x+4|的最小值=　　．

（4）若x表示一個有理數，且|x+1|+|x﹣3|=4，則滿足條件的所有整數x的是　　．

（5）若x表示一個有理數，當x為　　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值為　　．

Answer 1

【答案】（1）4 ,5 ；（2）|x+3| , |x-6|（3）5；（4）-1,0,1,2,3 ；（5）3 , 6

【解析】試題分析：(1)數軸上兩點間的距離等于兩個數的差的絕對值；
(2)數軸上兩點間的距離等于兩個數的差的絕對值；
(3)根據絕對值幾何意義即可得出結論．
(4)分情況討論計算即可得出結論；
(5)|x+2|+|x-3|+|x-4|表示數軸上某點到表示-2、3、4三點的距離之和，

試題解析：

（1）數軸上表示2和6兩點之間的距離是|6-2|=4，
數軸上表示1和-4的兩點之間的距離是|1-（-4）|=5；
故答案為：4，5；
（2）數軸上表示x和-3的兩點之間的距離表示為|x-（-3）|=|x+3|，
數軸上表示x和6的兩點之間的距離表示為|x-6|；
故答案為：|x+3|，|x-6|；
（3）根據絕對值的定義有：|x-1|+|x+4|可表示為點x到1與-4兩點距離之和，根據幾何意義分析可知：
當x在-4與1之間時，|x-1|+|x+4|有最小值5，
故答案為：5；
（4）當x＜-1時，|x+1|+|x-3|=-x-1+3-x=-2x+2=4，
解得：x=-1，
此時不符合x＜-1，舍去；
當-1≤x≤3時，|x+1|+|x-3|=x+1+3-x=4，
此時x=-1或x=0，x=1，x=2，x=3；
當x＞3時，|x+1|+|x-3|=x+1+x-3=2x-2=4，
解得：x=3，
此時不符合x＞3，舍去；
故答案為：-1或0或1或2或3；
（5）∵可看作是數軸上表示x的點到-2、3、4三點的距離之和，
∴當x=3時，|x+2|+|x-3|+|x-4|有最小值．
∴|x+2|+|x-3|+|x-4|的最小值=|3+2|+|3-3|+|3-4|=6．
故答案為3，6．