Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，DE⊥AD，交AB于點E，AE為⊙O的直徑

（1）判斷BC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）求證：△ABD∽△DBE；
（3）若cosB= ，AE=4，求CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：BC與⊙O相切．

證明：如圖連接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O的切線

（2）解：∵BC是⊙O切線，

∴∠ODB=90°，

∴∠BDE+∠ODE=90°，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠DAE+∠AED=90°，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∴∠BDE=∠DAB，

∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△DBE

（3）解：在Rt△ODB中，∵cosB= = ，設BD=2 k，OB=3k，

∵OD2+BD2=OB2，

∴4+8k2=9k2，

∴k=2，

∴BO=6，BD=4 ，

∵DO∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴CD= ．

【解析】（1）結論：BC與⊙O相切，連接OD只要證明OD∥AC即可．（2）欲證明△ABD∽△DBE，只要證明∠BDE=∠DAB即可．（3）在Rt△ODB中，由cosB= = ，設BD=2 k，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出k，再利用DO∥AC，得 = 列出方程即可解決問題．本題考查圓的綜合題、切線的判定、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會添加常用輔助線，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．