Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線y=a（x﹣2）2﹣1經過點A、B，與x相交于點E、F，且其頂點M在CD上．

（1）請直接寫出點A的坐標 ，并寫出a的值 ；

（2）若點P是拋物線上一動點（點P不與點A、點B重合），過點P作y軸的平行線l與直線AB交于點G，與直線BD交于點H，如圖2．

①當線段PH=2GH時，求點P的坐標；

②當點P在直線BD下方時，點K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）；2；（2）①點P的坐標為（3，0）或（﹣1，8）．②．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線的對稱性、拋物線的頂點坐標以及正方形四邊都相等的性質解答；

（2）①根據待定系數法可得直線BD的解析式，設點P的坐標為（x，x2﹣4x+3），則點H（x，x﹣1），點G（x，3）．分三種情況：i）當x≥1且x≠4時；ii）當0＜x＜1時；iii）當x＜0時；三種情況討論可得點P的坐標；

②根據相似三角形的性質可得S△KPH=PH2=（﹣x2+5x﹣4）2，再根據二次函數的增減性可得△KPH面積的最大值．

解：（1）如圖1，∵拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，頂點是M，

∴M（2，﹣1）．

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴OD=1，DC=BC=AB=AD=4，

∴A（0，3）．

把A（0，3）代入y=a（x﹣2）2﹣1，得

3=a（0﹣2）2﹣1，

解得a=2．

故答案是：（0，3）；2；

（2）①設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經過D（0，﹣1），B（4，3），

則，

解得，

故直線BD的解析式為y=x﹣1．

設點P的坐標為（x，x2﹣4x+3），則點H（x，x﹣1），點G（x，3）．

i）當x≥1且x≠4時，點G在PH的延長線上，如圖2．

∵PH=2GH，

∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4．

當x2=4時，點P，H，G重合于點B，舍去．

∴x=3．

∴此時點P的坐標為（3，0）．

ii）當0＜x＜1時，點G在PH的反向延長線上，如圖3，PH=2GH不成立．

iii）當x＜0時，點G在線段PH上，如圖4．

∵PH=2GH，

∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），

∴x=﹣1．此時點P的坐標為（﹣1，8）．

綜上所述可知，點P的坐標為（3，0）或（﹣1，8）．

②如圖5，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，

∴E（1，0），F（3，0），

∴EF=2．

∴S△AEF=EFOA=3．

∵△KPH∽△AEF，

∴=（）2，

∴S△KPH=PH2=（﹣x2+5x﹣4）2．

∵1＜x＜4，

∴當x=時，S△KPH的最大值為．