Question

【題目】如圖，(1)P是等腰三角形A BC底邊BC上的一人動點，過點P作BC的垂線，交AB于點Q，交CA的延長線于點R。請觀察AR與AQ，它們有何關系？并證明你的猜想。

(2)如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，(1)中所得的結論還成立嗎？請你在圖15(2)中完成圖 形，并給予證明。

Answer 1

【答案】直角三角形的角度運算規律；AR=AQ

【解析】試題分析：（1）由已知條件，根據等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質不難推出∠PRC與∠AQR的關系；

（2）由已知條件，根據等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質不難推出∠BQP與∠PRC的關系．

解：（1）AR=AQ，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵RP⊥BC，

∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC．

∵∠BQP=∠AQR，

∴∠PRC=∠AQR，

∴AR=AQ；

（2）猜想仍然成立．證明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵∠ABC=∠PBQ，

∴∠PBQ=∠C，

∵RP⊥BC，

∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∴AR=AQ．