Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過D作MN⊥AC于點M，交AB的延長線于點N，過點B作BG⊥MN于G．

（1）求證：△BGD∽△DMA；

（2）求證：直線MN是⊙O的切線.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】試題分析（1）∵MN⊥AC于點M，BG⊥MN于G，

∴∠BGD=∠DMA=90°．

∵以AB為直徑的⊙O交BC于點D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，

∴∠ADM+∠CDM=90°，

∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，

∴∠DBG=∠ADM．

在△BGD與△DMA中，，∴△BGD∽△DMA；

（2）連結OD．∵BO=OA，BD=DC，

∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN，

∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN，

∴直線MN是⊙O的切線．