Question

【題目】已知扇形OAB的半徑為r，C為上的任一點（不與A、B重合），CM⊥OA，垂足為M，CN⊥OB，垂足為N，連接MN．

（1）如圖①，∠AOB＝90°，求證MN＝r；

（2）如圖②，∠AOB＝45°，探索MN與r的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）r

【解析】試題分析： 連接OC，四邊形OMCN是矩形,即可得證.

以O為圓心，OA為半徑畫⊙O，證明MN是△CPQ的中位線,即可得出結果.

試題解析： 證明：連接OC，

∵CM⊥OA， CN⊥OB，

∴∠CMO＝∠CNO＝90°，

又∠AOB＝90°，

∴四邊形OMCN是矩形．

∴MN＝OC＝r .

以O為圓心，OA為半徑畫⊙O，

延長CM，CN分別與⊙O交于點P，Q，連接OP，OQ ，PQ，OC

∵OA⊥PC,∴PA＝AC，

同理CN＝NQ，

∴∠POA＝∠COA，∠QOB＝∠COB,

∴∠POQ＝2∠AOB＝90°,

在△CPQ中,MN是△CPQ的中位線,

.

在Rt△OPQ中