Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0．
（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數根;
（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根。并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長。

Answer 1

【答案】
（1）

解：由判別式可得(m+2)2-4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4= m2-4m+8=(m-2)2+4>0.

所以方程恒有兩個不相等的實數根。

（2）

解：把x=1代入方程可得1-(m+2)+(2m-1)=0，解得m=2，

把m=2代入方程可整理得x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3.

當1和3都是直角邊的邊長時，斜邊長為 ，周長為4+ 。

當3是斜邊長時，另一條邊長是 ，周長為4+ 。

【解析】（1）方程的解與根的判別式有關，求出判別式的范圍，再判斷根的情況；（2）由于方程中有個未知數m，可以將x=1代入方程先求出m的解；再將m的值代入，解出一元二次方程的兩個解，則分類討論兩個解分別是直角邊還是斜邊，求出第三條邊，寫出周長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根．