Question

如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，且OA=OB=1，經過原點O的直線l交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線x=1相交于點P，現將直線L繞O點旋轉，使交點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：
（1）當△AOC和△BCP全等時，求出t的值；
（2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關系并證明你得到的結論；
（3）①設點P的坐標為（1，b），試寫出b關于t的函數關系式和變量t的取值范圍．
②求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）△AOC和△BCP全等，則AO=BC=1，
又AB=，
所以t=AB-BC=-1；

（2）OC=CP．
證明：過點C作x軸的平行線，交OA與直線BP于點T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB為等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四邊形OBHT為矩形，∴OT=BH，
∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x軸，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC•cos45°=t，
∴BH=OT=OA-AT=1-t，
∴BP=BH-PH=1-t，
∴；（0＜t＜）
②t=0時，△PBC是等腰直角三角形，但點C與點A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，則-t=|1-t|，
解得t=1或t=-1（舍去），
∴當t=1時，△PBC為等腰三角形，
即P點坐標為：P（1，1-）．
分析：（1）△AOC和△BCP全等，則AO=BC=1，又∵AB=，t=AB-BC=-1；
（2）過點C作x軸的平行線，交OA與直線BP于點T、H，證△OTC≌△CHP即可；
（3）根據題意可直接得出b=1-t；當t=0或1時，△PBC為等腰三角形，即P（1，1），P（1，1-），但t=0時，點C不在第一象限，所以不符合題意．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數的性質和點的意義表示出相應的線段的長度，再結合三角形全等和等腰三角形的性質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．