Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，DC與y軸相交于點E，矩形OABC的邊OC，OA的長是關于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的兩個根，且OA＞OC．

（1）求線段OA，OC的長；
（2）求證：△ADE≌△COE，并求出線段OE的長；
（3）直接寫出點D的坐標；
（4）若F是直線AC上一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以點E，C，P，F為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣12x+32=0得，x1=8，x2=4，∵OA＞OC，

∴OA=8，OC=4；

（2）

證明∵四邊形ABCO是矩形，

∴AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，

∵把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，

∴AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，

∴AD=OC，∠ADE=∠COE，

在△ADE與△COE中， ，

∴△ADE≌△COE；

∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42，

∴OE=3；

（3）

解：過D作DM⊥x軸于M，

則OE∥DM，

∴△OCE∽△MCD，

∴ ，

∴CM= ，DM= ，

∴OM= ，

∴D（﹣ ， ）；

（4）

解：存在；∵OE=3，OC=4，

∴CE=5，

過P1作P1H⊥AO于H，

∵四邊形P1ECF1是菱形，

∴P1E=CE=5，P1E∥AC，

∴∠P1EH=∠OAC，

∴ = = ，

∴設P1H=k，HE=2k，

∴P1E= k=5，

∴P1H= ，HE=2 ，

∴OH=2 +3，

∴P1（﹣ ，2 +3），

同理P3（ ，3﹣2 ），

當A與F重合時，四邊形F2ECP2是菱形，

∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，

∴P2（4，5）；

當CE是菱形EP4CF4的對角線時，四邊形EP4CF4是菱形，

∴EP4=5，EP4∥AC，

如圖2，過P4作P4G⊥x軸于G，過P4作P4N⊥OE于N，

則P4N=OG，P4G=ON，

EP4∥AC，

∴ = ，

設P4N=x，EN=2x，

∴P4E=CP4= x，

∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，

∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（ x）2，

∴x= ，

∴3﹣2x= ，

∴P4（ ， ），

綜上所述：存在以點E，C，P，F為頂點的四邊形是菱形，P（﹣ ，2 +3），（ ，3﹣2 ），（4，5），（ ， ）．

【解析】（1）解方程即可得到結論；（2）由四邊形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根據折疊的性質得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根據全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根據勾股定理得到OE=3；（3）過D作DM⊥x軸于M，則OE∥DM，根據相似三角形的性質得到CM= ，DM= ，于是得到結論．（4）過P1作P1H⊥AO于H，根據菱形的性質得到P1E=CE=5，P1E∥AC，設P1H=k，HE=2k，根據勾股定理得到P1E= k=5，于是得到P1（﹣ ，2 +3），同理P3（ ，3﹣2 ），當A與F重合時，得到P2（4，5）；當CE是菱形EP4CF4的對角線時，四邊形EP4CF4是菱形，得到EP4=5，EP4∥AC，如圖2，過P4作P4G⊥x軸于G，過P4作P4N⊥OE于N，根據勾股定理即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半，以及對相似三角形的應用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．