Question

【題目】如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，∠ABC的角平分線交⊙O于點D，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若DE＝AC，求∠ACB的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90°

【解析】

（1）連接OD交AC于H，因為∠ABC的角平分線交⊙O于點D，所以∠ABD=∠CBD，即，可得OD⊥AC，由DE∥AC，得OD⊥DE，進而得出DE為⊙O的切線；

（2）證明四邊形CHDE為矩形，可得∠ACB=∠E=90°．

（1）如圖，連接OD交AC于H，

∵∠ABC的角平分線交⊙O于點D，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴，

∴OD⊥AC，

∵DE∥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵OD⊥AC，

∴CH＝AC，

∵DE＝AC，

∴CH＝DE，

∵DE∥AC，

∴四邊形CHDE為平行四邊形，

∵∠ODE＝90°，

∴四邊形CHDE為矩形，

∴∠ACB＝∠E＝90°．