Question

【題目】如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）試說明△ABC是等腰三角形；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動點M從點B出發以每秒2cm的速度沿線段BA向點A 運動，同時動點N從點A出發以每秒1cm速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止. 設點M運動的時間為t（秒），

①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；

②若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

圖1 圖2 備用圖

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①t值為：s或6s；②t值為：4.5或5或．

【解析】

（1）設BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出結論；

（2）由△ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當MN∥BC時，AM=AN；當DN∥BC時，AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根據題意得出當點M在DA上，即2＜t≤5時，△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分別得出方程，解方程即可．

解：（1）證明：設BD=2x，AD=3x，CD=4x，則AB=5x，

在Rt△ACD中，AC=5x，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，

∴S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x＞0，

∴x=2cm，

則BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．

由運動知，AM=10-2t，AN=t，

①當MN∥BC時，AM=AN，

即10-2t=t，

∴；

當DN∥BC時，AD=AN，

∴6=t，

得：t=6；

∴若△DMN的邊與BC平行時，t值為s或6s．

②存在，理由：

Ⅰ、當點M在BD上，即0≤t＜2時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；

Ⅱ、當t=2時，點M運動到點D，不構成三角形

Ⅲ、當點M在DA上，即2＜t≤5時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．

∵點E是邊AC的中點，

∴DE=AC=5

當DE=DM，則2t-4=5，

∴t=4.5s；

當ED=EM，則點M運動到點A，

∴t=5s；

當MD=ME=2t-4，

如圖，過點E作EF垂直AB于F，

∵ED=EA，

∴DF=AF=AD=3，

在Rt△AEF中，EF=4；

∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，

∴FM=2t-7

在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，

∴t=．

綜上所述，符合要求的t值為4.5或5或．