Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線交y軸于點A，交直線x=6于點B.

（1）填空：拋物線的對稱軸為x=_________，點B的縱坐標為__________（用含a的代數式表示）；

（2）若直線AB與x軸正方向所夾的角為45°時，拋物線在x軸上方，求的值；

（3）記拋物線在A、B之間的部分為圖像G（包含A、B兩點），若對于圖像G上任意一點，總有≤3，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】 （1）； ；（2）a=；（3）a≥或a<0．

【解析】(1). ;; （2） ; (3) 或a<0.

試題分析：（1）①根據拋物線的對稱軸為直線，代入數據即可得出結論；②把x=6代入直線即可求出點B的縱坐標；

（2）根據直線AB與x軸正方向所夾的角為45°，列方程-30a2+36a+3=6+3求出a的值；

（3）分a＞0及a＜0兩種情況考慮，依照題意畫出函數圖象，利用數形結合即可得出a的取值范圍．

解：（1）①對稱軸為： ；

②把x=6代入直線得，

y=36a-30a2+3.

∴點B的縱坐標為-30a2+36a+3.

(2)當x=0時, =3,

∴A(0,3).

∵直線AB與x軸正方向所夾的角為45°，

∴-30a2+36a+3=6+3,

解之得

,a2=1（舍去）.

∴a的值是 .

（3）當a＞0時，如圖1．

∵A（0，3），

∴要使0≤xp≤6時，始終滿足yp≤3，只需使拋物線y=ax2-5a2x+3的對稱軸與直線x=3重合或在直線x=3的右側．

∴ ,

.

當a＜0時，如圖2，

在0≤xp≤6中，yp≤3恒成立．

綜上所述，a的取值范圍為或a<0．