Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經過點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC交EC的延長線于點D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分別交⊙O、AC于M、N，連接MB，BC．

（1）求證：AC平分∠DAE；

（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半徑；②求FN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①⊙O的半徑為4；②FN=．

【解析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得OC⊥DE，則判斷OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，從而得到∠1=∠2；

（2）①利用圓周角定理和垂徑定理得到，則∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，設⊙O的半徑為r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定義得到，從而解方程求出r即可；

②連接BF，如圖，先在Rt△AFB中利用余弦定義計算出AF=，再計算出OC=3，接著證明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可計算出FN的長．

（1）連接OC，如圖，

∵直線DE與⊙O相切于點C，

∴OC⊥DE，

又∵AD⊥DE，

∴OC∥AD．

∴∠1=∠3

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∴AC平方∠DAE；

（2）①∵AB為直徑，

∴∠AFB=90°，

而DE⊥AD，

∴BF∥DE，

∴OC⊥BF，

∴，

∴∠COE=∠FAB，

而∠FAB=∠M，

∴∠COE=∠M，

設⊙O的半徑為r，

在Rt△OCE中，cos∠COE=，即，解得r=4，

即⊙O的半徑為4；

②連接BF，如圖，

在Rt△AFB中，cos∠FAB=，

∴AF=8×，

在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，

∴CE=3，

∵AB⊥FM，

∴，

∴∠5=∠4，

∵FB∥DE，

∴∠5=∠E=∠4，

∵，

∴∠1=∠2，

∴△AFN∽△AEC，

∴，即，

∴FN=．