Question

已知，如圖①，∠MON=60°，點A、B為射線OM、ON上的動點（點A、B不與點O重合），且AB=，在∠MON的內部、△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°.
 
（1）求AP的長；
（2）求證：點P在∠MON的平分線上；
（3）如圖②，點C，D，E，F分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點，連接CD，DE，EF，FC，OP.
①當AB⊥OP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長；
②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

（1）4；（2）過點P分別作PS⊥OM于點S， PT⊥ON于點T，根據四邊形的內角和定理可得∠SPT的度數，即可得到∠APS=∠BPT，再結合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可證得△APS≌△BPT，從而證得結論；（3）①8+4；②4+4＜t≤8+4

試題分析：（1）過點P作PQ⊥AB于點Q，先根據等腰三角形的性質求得AQ的長，∠APQ的度數，在Rt△APQ中，根據∠APQ的正弦函數即可求得結果；
（2）過點P分別作PS⊥OM于點S， PT⊥ON于點T，根據四邊形的內角和定理可得∠SPT的度數，即可得到∠APS=∠BPT，再結合∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，即可證得△APS≌△BPT，從而證得結論；
（3）根據三角形的中位線定理即可求得結果.
（1）過點P作PQ⊥AB于點Q 
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4，
∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°
在Rt△APQ中，sin∠APQ=
∴AP=＝4
（2）過點P分別作PS⊥OM于點S， PT⊥ON于點T

∴∠OSP=∠OTP=90°
在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°
∴∠APS=∠BPT
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT
∴PS=PT
∴點P在∠MON的平分線上；
（3）①8+4 
②4+4＜t≤8+4.
點評：解答本題的關鍵是讀懂題意及圖形，正確作出輔助線，同時熟記三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.