Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，過點O、點B的直線解析式為y=

4

3

x，OA、AB是方程x²-14x+48=0的兩個根，OB=BC，D、E分別是線段OC、OB上的動點（點D與點O、點C不重合），且∠BDE=∠ABO，設CD=x，BE=y．
（1）求BC和OC的長；
（2）求y與x的函數關系式；
（3）是否存在x的值，使以點B、點D、點E為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8．
過點B作BM⊥OC于點M，
又∵過點O、點B的直線解析式為y=

4

3

x，
∴BM：OM=4：3，
∴BM=8，OM=6，
∴BC=OB=

62+82

=10，OC=2OM=12；

（2）∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，
∵BO=BC，∴∠BOC=∠BCO，
∵∠BDE=∠ABO，∴∠BDE=∠BCO，
∵∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠CBD+∠BCO，∴∠ODE=∠CBD，
∴△ODE∽△CBD，∴OD：CB=OE：CD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x，
解得y=

1

10

x²-

6

5

x+10（0＜x＜12）；

（3）存在x₁=2，x₂=

11

3

，使以點B、點D、點E為頂點的三角形為等腰三角形．理由如下：
∵∠BED＞∠BOC=∠BDE，∴BD＞BE，
當△BDE為等腰三角形時，分兩種情況：
①當DE=DB時，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=DE：BD=1，
∴（12-x）：10=1，
解得x=2；
②當EB=ED時，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=OE：CD=DE：BD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x=y：（12-x），
解得x=

11

3

．
故存在x₁=2，x₂=

11

3

，使以點B、點D、點E為頂點的三角形為等腰三角形．