Question

如圖，等邊三角形ABC邊長為4，E是邊BC上動點，EH⊥AC于H，過E作EF∥AC，交線段AB于點F，在線段AC上取點P，使PE=EB，設 EC=x（0<x≤2）。

（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段（不再另外添加輔助線）；
（2）Q是線段AC上的動點，當四邊形EFPQ是平行四邊形時，求EFPQ的面積（用含x的代數式表示）；
（3）當（2）中的EFPQ面積最大時，以E為圓心，r為半徑作圓，根據⊙E與此時EFPQ四條邊交點的總個數，求相應r的取值范圍，

Answer 1

解：（1）BE、PE、BF三條線段中任選兩條； （2）如圖，在Rt△CHE中，∠CHE=90°，∠C=60°， ∴， ∵PQ=EF=BE=4-x， ∴=； （3）=， ∴當x=2時有最大值，此時E、F、P分別為△ABC三邊BC、AB、AC的中點， 且點C、點Q重合， ∴是菱形， 如圖，過點E作ED⊥FP于D， ∴， ∴當⊙E與四條邊交點的總個數是2個時，； 當⊙E與四條邊交點的總個數是4個時，r=； 當⊙E與四條邊交點的總個數是6個時，<r<2； 當⊙E與四條邊交點的總個數是3個時，r=2； 當⊙E與四條邊交點的總個數是0個時，r>2。