Question

【題目】數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．
（1）探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集
探究|x﹣1|的幾何意義
如圖①，在以O為原點的數軸上，設點A′對應的數是x﹣1，有絕對值的定義可知，點A′與點O的距離為|x﹣1|，可記為A′O=|x﹣1|．將線段A′O向右平移1個單位得到線段AB，此時點A對應的數是x，點B對應的數是1．因為AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數軸上x所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB．

探究求方程|x﹣1|=2的解
因為數軸上3和﹣1所對應的點與1所對應的點之間的距離都為2，所以方程的解為3，﹣1．
探究：
求不等式|x﹣1|＜2的解集
因為|x﹣1|表示數軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離，所以求不等式解集就轉化為求這個距離小于2的點對應的數x的范圍．
請在圖②的數軸上表示|x﹣1|＜2的解集，并寫出這個解集．

（2）探究二：探究 的幾何意義
探究：
的幾何意義
如圖③，在直角坐標系中，設點M的坐標為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點坐標為（x，0），Q點坐標為（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，則MO= = = ，因此， 的幾何意義可以理解為點M（x，y）與點O（0，0）之間的距離MO．

探究：
的幾何意義
如圖④，在直角坐標系中，設點A′的坐標為（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，A′O= ，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時點A的坐標為（x，y），點B的坐標為（1，5），因為AB=A′O，所以AB= ，因此 的幾何意義可以理解為點A（x，y）與點B（1，5）之間的距離AB．

探究 的幾何意義
①請仿照探究二的方法，在圖⑤中畫出圖形，并寫出探究過程．
② 的幾何意義可以理解為：

（3）拓展應用：
① + 的幾何意義可以理解為：點A（x，y）與點E（2，﹣1）的距離和點A（x，y）與點F（填寫坐標）的距離之和．
② + 的最小值為（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖所示，

∴|x﹣1|＜2的解集是﹣1＜x＜3，

（2）

解：① 的幾何意義是：點A（x，y）與B（﹣3，4）之間的距離，

∴過點B作BD⊥x軸于D，過點A作AC⊥BD于點C，

∴AC=|x+3|，BC=|y﹣4| ，

∴由勾股定理可知：AB2=AC2+BC2，

∴AB= ，

②點（x，y）與點（a，b）之間的距離

（3）（﹣1，﹣5）；5
【解析】解：
【答案】解：如圖所示，
∴|x﹣1|＜2的解集是﹣1＜x＜3，
拓展研究：（1）由探究二（4）可知 表示點（x，y）與（﹣1，﹣5）之間的距離，
故F（﹣1，﹣5），（2）由（1）可知： + 表示點A（x，y）與點E（2，﹣1）的距離和點A（x，y）與點F（﹣1，﹣5）的距離之和，
當A（x，y）位于直線EF外時，
此時點A、E、F三點組成△AEF，
∴由三角形三邊關系可知：EF＜AF+AE，
當點A位置線段EF之間時，此時EF=AF+AE，
∴ + 的最小值為EF的距離，
∴EF= =5
所以答案是：探究二（4）點（x，y）與點（a，b）之間的距離；
拓展研究（1）（﹣1，﹣5）；（2）5．

【考點精析】利用兩點間的距離對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知同軸兩點求距離，大減小數就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．