Question

如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C

（1）求拋物線的函數解析式．
（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．
（3）P是拋物線上第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
，解得：。
∴函數解析式為：y=x²+2x。
（2）當AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，
若D在對稱軸直線x=﹣1左側，則D橫坐標為﹣3，代入拋物線解析式得D₁（﹣3，3）；
若D在對稱軸直線x=﹣1右側，則D橫坐標為1，代入拋物線解析式得D₂（1，3）。
綜上所述，點D的坐標為：（﹣3，3）或（1，3）。
（3）存在。
如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），

根據勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20
∴BO²+CO²=BC²。∴△BOC是直角三角形。
假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，則，即。
∴x+2=3（x²+2x），解得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）。
當x=時，y=，即P（，）。
②若△PMA∽△BOC，則，即。
∴x²+2x=3（x+2），解得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）。
當x=3時，y=15，即P（3，15）。
∴符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）。

試題分析：（1）由于拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式。
（2）根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標。
（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標。