Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F.試探究線段BE與DF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】BE＝DF

【解析】試題分析：BE與DH的延長線交于G點，由DH∥AC得到∠BDH=45°，則△HBD為等腰直角三角形，于是HB=HD，由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG，
根據等腰三角形性質得BE=GE，即BE=BG，然后根據“AAS”證明△BGH≌△DFH，則BG=DF，所以BE=FD．

試題解析：

BE=FD．理由：
BE與DH的延長線交于G點，如圖所示：

∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD為等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，

∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE= FD．