Question

【題目】如圖，在△ABC中，E是AC邊上的一點，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，交BE于點F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AE=AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE= （180°﹣∠BAC=）=90°﹣ ∠BAC，

∵∠BAC=2∠CBE，

∴∠CBE= ∠BAC，

∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣ ∠BAC）+ ∠BAC=90°，

即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線

（2）

解： 連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴ ，

∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，

∴AC= =10，

∴ ，

解得：AD=6.4，

∵AE=AB=8，

∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6

【解析】（1）由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣ ∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，繼而證得結論；（2）首先連接BD，易證得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．此題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及勾股定理．注意準確作出輔助線，證得△ABD∽△ACB是解此題的關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．