Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）若AB//x軸，如圖一，求t的值；

（2）當t=3時，坐標平面內有一點M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標；

（3）設點A關于x軸的對稱點為,連接，在點P運動的過程中，∠的度數是否會發生變化，若不變，請求出∠的度數，若改變，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）4； （2）（4，7）, （6，-4）, （10，-1）；（3）45°

【解析】試題分析： 由軸，可找出四邊形為長方形，再根據 為等腰三角形可得知 從而得出為等腰直角三角形，由此得出結論；
由全等三角形的性質和等腰三角形的性質可得出結論，注意分類討論；
由等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質即可得出結論．

試題解析：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB//x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4．

（2）點M的坐標為（4，7）, （6，-4）, （10，-1）

（3）答：

∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵點A（0，4），點P（t，0）

∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t

∴點

∴過點作軸于點，

為等腰直角三角形.

∴∠=45°.