Question

如圖，△ABC中，BC=6，AC=4

2

，∠C=45°，P為BC邊上的動點，過P作PD∥AB交AC于點D，連接AP，△ABP，△APD，△CDP的面積分別記為S₁，S₂，S₃，設BP=x．
（1）試用x的代數式分別表示S₁，S₂，S₃；
（2）當P點在什么位置時，△APD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中BC邊上的高為4，設△CDP中PC邊上的高為h，則

h

4

=

6-x

6

?h=

2

3

(6-x)(0＜x＜6)即可求出用x的代數式分別表示S₁，S₂，S₃；
（2）對S₂=-

1

3

x2+2x利用配方法即可求出△APD的面積最大值；

解答：解：（1）過A作AE⊥BC，則AE為BC邊上的高，
由Rt△AEC中，AC=4

2

，∠C=45°，得到此三角形為等腰直角三角形，
∴sin45°=

AE

AC

，即AE=ACsin45°=4

2

×

2

2

=4，
則△ABC中BC邊上的高為4，設△CDP中PC邊上的高為h，
則

h

4

=

6-x

6

?h=

2

3

(6-x)(0＜x＜6)；
這樣S₁=2x，S₃=

1

2

(6-x)•

2

3

(6-x)=

1

3

(6-x)2，
S₂=12-2x-

1

3

(6-x)2=-

1

3

x2+2x；

（2）S₂=-

1

3

x2+2x=-

1

3

(x2-6x+9)+3=-

1

3

(x-3)2+3，
所以當x=3時，y有最大值3；此時BP=3，即P是BC的中點．

點評：本題考查了二次函數的最值及三角形的面積，難度不大，關鍵是掌握用配方法求二次函數的最值．