Question

【題目】將拋物線c1： 沿x軸翻折，得到拋物線c2 ， 如圖1所示．

（1）請直接寫出拋物線c2的表達式；
（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E．
①當B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x2﹣

（2）

解：①如圖1，令﹣ x2+ =0，得x1=﹣1，x2=1

則拋物線c1與x軸的兩個交點坐標為（﹣1，0），（1，0）．

∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．

同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．

當AD= AE時，

（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）= [（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m= ．

當BD= AE時，

（﹣1+m）﹣（1﹣m）= [（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，

∴m=2．

故當B，D是線段AE的三等分點時，m= 或2．

②存在．

理由：如圖2，連接AN，NE，EM，MA．

依題意可得：M（﹣m， ），N（m，﹣ ）．

即M，N關于原點O對稱，

∴OM=ON．

∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），

∴A，E關于原點O對稱，

∴OA=OE

∴四邊形ANEM為平行四邊形．

∵AM2=（﹣m+1+m）2+（ ）2=4，

ME2=（1+m+m）2+（ ）2=4m2+4m+4，

AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，

若AM2+ME2=AE2，則4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，

∴m=1，

此時△AME是直角三角形，且∠AME=90°．

∴當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形．

【解析】（1）根據翻折的性質可求拋物線c2的表達式；（2）①求出拋物線c1與x軸的兩個交點坐標，分當AD= AE時，當BD= AE時兩種情況討論求解；②存在．理由：如圖2，連接AN，NE，EM，MA．根據矩形的判定即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．