Question

【題目】小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形．

（1）如圖①所示兩個等腰直角△ABC，△DBE，兩直角邊交于點F，連接BF、AD，求證：BF＝AD；

（2）如果小華將兩塊三角板△ABC，△DBE如圖②所示擺放，使D、B、C三點在一條直線上，AC、DE的延長線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AE于點G，連接AD，FB，求證：FG=AC+DC；

（3）在（2）的條件下，若AG=7，DC=5，將一個45°角的頂點與點B重合，并繞點B旋轉，這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點（如圖③），若PG=2，求線段FQ的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析；(3)、.

【解析】

試題分析：(1)、根據△ABC，△DBE是等腰直角三角形得到△CDF也是等腰直角三角形，則CD=CF，根據∠BCF=∠ACD=90°，AC=BC得到△BCF≌△ACD，從而得到BF=AD；(2)、根據△ABC、△BDE是等腰直角三角形得出∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°即FG∥CD，∠G=45°，則AF=FG，根據CD⊥CF，∠CDF=45°得出CD=CF，則得出答案；(3)、過點B作BH⊥FG垂足為H，過點P作PK⊥AG于點K，根據FG∥BC，C、D、B在一條直線上得出△AFG和△DCF為等腰直角三角形，根據勾股定理得出AF、FG和FD的長度，然后根據題意求出△BQH和△BPK相似，然后求出FQ的長度.

試題解析：(1)、∵△ABC，△DBE是等腰直角三角形， ∴△CDF也是等腰直角三角形；

∴CD=CF， 又∵∠BCF=∠ACD=90°，AC=BC ∴△BCF≌△ACD， ∴BF=AD；

(2)、∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，∵FG∥CD， ∴∠G=45°，

∴AF=FG； ∵CD⊥CF，∠CDF=45°， ∴CD=CF， ∵AF=AC+CF， ∴AF=AC+DC． ∴FG=AC+DC．

(3)、過點B作BH⊥FG垂足為H，過點P作PK⊥AG于點K，

∵FG∥BC，C、D、B在一條直線上， 可證△AFG、△DCF是等腰直角三角形， ∵AG=，CD=5，

∴根據勾股定理得：AF=FG=7，FD=， ∴AC=BC=2， ∴BD=3； ∵BH⊥FG，

∴BH∥CF，∠BHF=90°， ∵FG∥BC， ∴四邊形CFHB是矩形， ∴BH=5，FH=2；

∵FG∥BC， ∴∠G=45°， ∴HG=BH=5，BG=； ∵PK⊥AG，PG=2， ∴PK=KG=，

∴BK=﹣=4； ∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°， ∴∠GBH=45°， ∴∠1=∠2；

∵PK⊥AG，BH⊥FG， ∴∠BHQ=∠BKP=90°， ∴△BQH∽△BPK， ∴，

∴QH= ∴