Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象過點A(4,1)與正比例函數()的圖象相交于點B(,3)，與軸相交于點C.

（1）求一次函數和正比例函數的表達式;

（2）若點D是點C關于軸的對稱點，且過點D的直線DE∥AC交BO于E，求點E的坐標；

（3）在坐標軸上是否存在一點，使.若存在請求出點的坐標，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）一次函數表達式為：；正比例函數的表達式為：；（2）E（－2，－3）；（3）P點坐標為（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.

【解析】

（1）將點A坐標代入可求出一次函數解析式，然后可求點B坐標，將點B坐標代入即可求出正比例函數的解析式；

（2）首先求出點D坐標，根據DE∥AC設直線DE解析式為：，代入點D坐標即可求出直線DE解析式，聯立直線DE解析式和正比例函數解析式即可求出點E的坐標；

（3）首先求出△ABO的面積，然后分點P在x軸和點P在y軸兩種情況討論，設出點P坐標，根據列出方程求解即可.

解：（1）將點A(4，1)代入得，

解得：b=5，

∴一次函數解析式為：，

當y=3時，即，

解得：，

∴B(2，3)，

將B(2，3)代入得：，

解得：，

∴正比例函數的表達式為：；

（2）∵一次函數解析式為：，

∴C（0，5），

∴D（0，－5），

∵DE∥AC，

∴設直線DE解析式為：，

將點D代入得：，

∴直線DE解析式為：，

聯立，解得：，

∴E（－2，－3）；

（3）設直線與x軸交于點F，

令y=0，解得：x=5，

∴F（5，0），

∵A（4，1），B（2，3），

∴，

當點P在x軸上時，設P點坐標為（m，0），

由題意得：，

解得：，

∴P點坐標為（，0）或（，0）；

當點P在y軸上時，設P點坐標為（0，n），

由題意得：，

解得：，

∴P點坐標為（0，2）或（0，－2），

綜上所示：P點坐標為（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.