Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在線段上，、分別是、的中點，連接，、的延長線交于點，則下列結論：①；②：③；④.其中，正確結論的個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由點F是AD的中點，結合ABCD的性質，得FD=CD，即可判斷①；先證AEFDHF，再證ECH是直角三角形，即可判斷②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，結合三角形的面積公式，即可判斷③；設∠AEF=x，則∠H=x，根據直角三角形的性質，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，進而得到，即可判斷④．

∵點F是AD的中點，

∴2FD=AD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴FD=AB=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCF，即：，

∴①正確；

∵AB∥CD，

∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，

又∵AF=DF，

∴AEFDHF（AAS），

∴EF=HF，

∵，

∴CE⊥CD，即：ECH是直角三角形，

∴=EH，

∴②正確；

∵EF=HF，

∴

∵，CE⊥CD，垂足在線段上，

∴,

∴,

∴，

∴③錯誤；

設∠AEF=x，則∠H=x，

∵在RtECH中，CF=FH=EF，

∴∠FCH=∠H=x，

∵FD=CD，

∴∠DFC=∠FCH=x，

∵點F，G分別是EH，EC的中點，

∴FG∥CD∥AB，

∴∠AEF=∠EFG=x，

∵EF=CF，

∴∠EFG=∠CFG=x，

∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，

∴．

∴④正確．

故選C．