Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作GD∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=DB，連接AE、CD；
（1）求證：△ADG是等邊三角形；
（2）求證：△AGE≌△DAC；
（3）過點E作EF∥DC，交BC于點F，連接AF，求∠AEF的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC，

又∵GD∥BC，

∴∠ADG=∠ACB=∠ABC=60°，

∴△ADG是等邊三角形；

（2）證明：∵△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG=∠ADG=∠AGD=60°，AD=AG=DG，

又∵DE=DB，

∵DE+DG=DB+AD，

即EG=AB，

又∵AB=AC，

∴EG=AC，

在△AGE和△DAC中

∴△AGE≌△DAC（SAS）；

（3）解：∵△AGE≌△DAC，

∴∠AEG=∠ACD，

又∵EF∥DC，GD∥BC，

∴∠DCB=∠EFB，∠EFB=∠FEG，

∴∠DCB=∠FEG，

∴∠AEF=∠AEG+∠FEG=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．

【解析】（1）利用已知條件和等邊三角形的性質可證明∠ADG=∠ACB=∠ABC=60°，進而可證明△ADG是等邊三角形；（2）易證AG=AD，EG=AC，由全等三角形的判定方法SAS即可證明△AGE≌△DAC；（3）結合（2）可得∠AEF=∠AEG+∠FEG=∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°．
【考點精析】認真審題，首先需要了解線段垂直平分線的性質(垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等)．