Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH＝．

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）過H的直線與y軸相交于點P，過O，M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E，F，若 時，求點P的坐標；

（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動點，直線NQ交x軸于點G，當Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q，使△ANG 與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） y=- （x-2）2+4．（2） P（0，2），P（0，-2）．（3） y=4x+或y=-．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH=，求出c的值，進而求出拋物線方程；

（2）如圖1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可證△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例關系，求出P點坐標；

（3）首先求出D點坐標，寫出直線MD的表達式，由兩直線平行，兩三角形相似，可得NG∥MD，直線QG解析式．

試題解析：（1）∵M為拋物線的頂點，

∴M（2，c）．

∴OH=2，MH=|c|．

∵a＜0，且拋物線與x軸有交點，

∴c＞0，

∴MH=c，

∵sin∠MOH=，

∴．

∴OM=c，

∵OM2=OH2+MH2，

∴MH=c=4，

∴M（2，4），

∴拋物線的函數表達式為：y=-（x-2）2+4．

（2）如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，

∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．

∴△OEH∽△HFM，

∴，

∵，

∴MF=HF，

∴∠OHP=∠FHM=45°，

∴OP=OH=2，

∴P（0，2）．

如圖2，同理可得，P（0，-2）．

（3）∵A（-1，0），

∴D（1，0），

∵M（2，4），D（1，0），

∴直線MD解析式：y=4x-4，

∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，

∴，

∴AN=，ON=，N（0，）．

如圖3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，

∴直線QG解析式：y=4x+，

如圖4，若△ANG∽△ADM，可得

∴AG=，

∴G（，0），

∴QG：y=-，

綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：y=4x+或y=-．