Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，12),B(16，0),動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位的速度向點O移動，同時點Q從點B開始在BA上以每秒2個單位的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒。

⑴求直線AB的解析式；
⑵求t為何值時，△APQ與△AOB相似？
⑶當t為何值時，△APQ的面積為個平方單位？
⑷當t為何值時，△APQ的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）y=-x+12；（2）,；（3）2，8；（4）5，20.

試題分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB利用其對應邊成比例解t．②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB利用其對應邊成比例解得t．
（3）根據△APQ的面積為，求出t的值.
（3）過點O作QE⊥AO于點E，利用t表示出△APQ的面積，利用函數的性質即可求解．
試題解析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得
解得：
所以，直線AB的解析式為y=-x+12；
（2）由AO=12，BO=16得AB=20，
所以AP=t，AQ=20-2t，
①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．
所以，
解得t=（秒），
②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB．
所以，
解得t=（秒）；
∴當t為秒或秒時，△APQ與△AOB相似；
（3）過Q點作QE⊥Y軸于點E，
由△AQE∽△AOB知：
即：
解得：QE=
又S△APQ=
解得：,
(4)∵QE=
∴S_△APQ=AP•QE=t()=-t²+8t=-（t-5）²+20
∴當t=5時，△APQ的面積最大，最大面積是20個平方單位．
考點: 一次函數綜合題.