Question

【題目】騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛，各種品牌的山地自行車相繼投放市場．某車行經營的 A 型車去年 4 月份銷售總額為 3.2 萬元，今年經過改造升級后 A 型車每輛銷售價比去年增加 400 元，若今年 4 月份與去年4 月份賣出的 A 型車數量相同，則今年 4 月份 A 型車銷售總額將比去年 4 月份銷售總額增加 25%．（A、B 兩種型號車 今年的進貨和銷售價格如下表所示）

（1）求今年 4 月份 A 型車每輛銷售價多少元（用列方程進行解答）；

（2）該車行計劃 5 月份新進一批 A 型車和 B 型車共 50 輛，設購進的 A 型車為 x 輛，獲得的總利潤為 y 元，請寫 出 y 與 x 之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，若 B 型車的進貨數量不超過 A 型車數量的兩倍，應如何進貨才能使這批車獲利最大？最大 利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）2000元；（2）；（3）應購進A型車17輛，B型車33輛，才能使這批車獲利最大，最大利潤是48300元．

【解析】

（1）設去年4月份A型車每輛m元，那么今年4月份A型車每輛（m+400）元，根據總價=單價×數量結合今年與去年銷售單價與銷售總價間的關系，即可得出關于m的分式方程，解之并檢驗后即可得出結論；

（2）設購進的A型車為x輛，獲得的總利潤為y元，則購進的B型車為（50-x）兩，根據總利潤=每輛A型車的利潤×購進輛數+每輛B型車的輛數×購進數量，即可得出y關于x的函數關系式；

（3）由B型車的進貨數量不超過A型車數量的兩倍，可得出關于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再利用一次函數的單調性即可解決最值問題．

解：（1）設去年4月份A型車每輛m元，那么今年4月份A型車每輛（m+400）元，
根據題意得：

，

解得：m=1600，

經檢驗，m=1600是方程的解，

∴m+400=2000．

答：今年4月份A型車每輛銷售價為2000元．

（2）設購進的A型車為x輛，獲得的總利潤為y元，則購進的B型車為（50-x）兩，

根據題意得：y=（2000-1100）x+（2400-1400）（50-x）=-100x+50000．

∴y 與 x之間的函數關系式為：；

（3）根據題意得：50-x≤2x，

解得：．

∵在中，，

∴y隨x的增大而減小，

∴當x=17時，可以獲得最大利潤，

此時．

答：應購進A型車17輛，B型車33輛，才能使這批車獲利最大，最大利潤是48300元．