Question

【題目】如圖，長方形ABCD中，AB＝9，AD＝4.E為CD邊上一點，CE＝6. 點P從點B出發，以每秒1個單位的速度沿著邊BA向終點A運動，連接PE．設點P運動的時間為t秒．

(1)當t為何值時，△PAE為直角三角形？

(2)是否存在這樣的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=6，t=；（2）PA=PE，t=

【解析】

（1）需要分類討論：AE為斜邊和AP為斜邊兩種情況下的直角三角形；

（2）假設存在．利用角平分線的性質，平行線的性質以及等量代換推知：∠PEA=∠EAP，則PE=PA，由此列出關于t的方程，通過解方程求得相應的t的值即可．

（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，

∴CD=AB=9，∠D=90°，

∴DE=9-6=3，

∴AE===5；

若∠EPA=90°，t=6；

②若∠PEA=90°，（6-t）2+42+52=（9-t）2，
解得t=．

綜上所述，當t=6或t=時，△PAE為直角三角形；

（2）假設存在，

∵EA平分∠PED，

∴∠PEA=∠DEA，

∵CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAP，

∴∠PEA=∠EAP，

∴PE=PA，

∴（6-t）2+42=（9-t）2，

解得t=．

∴滿足條件的t存在，此時t=．