Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于點G,連接AG、HG。下列結論：①CE⊥DF；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG。其中，正確的結論有（ ）

A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，容易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據全等三角形的性質，容易證得CE⊥DF與AH⊥DF，故①正確；根據垂直平分線的性質，即可證得AG=AD，繼而AG=DC，而DG≠DC，所以AG≠DG，故②錯誤；由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG=DC，∠CHG=2∠GDC，根據等腰三角形的性質，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正確，則問題得解．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，

∵點E. F. H分別是AB、BC、CD的中點，

∴BE=FC

∴△BCE≌△CDF，

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF，故①正確；

連接AH，

同理可得：AH⊥DF，

∵CE⊥DF，

∴△CGD為直角三角形，

∴HG=HD=CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD=DC，
在Rt△CGD中，DG≠DC，

∴AG≠DG，故②錯誤；

∵AG=AD, AH垂直平分DG

∴∠DAG=2∠DAH,

根據①，同理可證△ADH≌△DCF

∴∠DAH=∠CDF，

∴∠DAG=2∠CDF,

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠GHC=∠DAG，故③正確，

所以①和③正確選擇C.