Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標系中，△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，…，如此作下去，則△B2015A2016B2016的頂點A2016的坐標是 ．

Answer 1

【答案】（4031，﹣ ）
【解析】解：∵△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，
∴A1的坐標為（1， ），B1的坐標為（2，0），
∵△B2A2B1與△OA1B1關于點B1成中心對稱，
∴點A2與點A1關于點B1成中心對稱，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣ =﹣ ，
∴點A2的坐標是（3，﹣ ），
∵△B2A3B3與△B2A2B1關于點B2成中心對稱，
∴點A3與點A2關于點B2成中心對稱，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣ ）= ，
∴點A3的坐標是（5， ），
∵△B3A4B4與△B3A3B2關于點B3成中心對稱，
∴點A4與點A3關于點B3成中心對稱，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣ =﹣ ，
∴點A4的坐標是（7，﹣ ），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的橫坐標是2n﹣1，
當n為奇數時，An的縱坐標是 ，當n為偶數時，An的縱坐標是﹣ ，
∴△B2015A2016B2016的頂點A2016的坐標是（4031，﹣ ），
故答案為：（4031，﹣ ）．
首先根據△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得A1的坐標為（1， ），B1的坐標為（2，0）；然后根據中心對稱的性質，分別求出點A2、A3、A4的坐標各是多少；最后總結出An的坐標的規律，求出A2016的坐標是多少即可．