Question

【題目】在Rt中，，AB=BC，F為AB上一點，連接CF，過B作BH⊥CF于G，交AC于H．

（1）如圖1，延長GH到點E，使GE=GC，連接AE，求的度數；

（2）如圖2，若F為AB中點，連接FH，請探究BH、FH、CF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BH+HF＝CF，理由見解析

【解析】

（1）過點A作AP⊥AB于點P，先找條件證明△ABP≌△BCG，根據對應邊相等，以及邊的關系，得到PE=PA，又AP⊥PE，得到△APE是等腰直角三角形，即可得到∠E的度數；

（2）過點A作AK⊥AB交BH的延長線于點K，推出Rt△BAK≌Rt△CBF，根據全等三角形的性質得到AK=BF，BK=CF．由F為AB的中點，得到AF=BF，等量代換得到AK=AF，證得△AHK≌△AHF，得到KH=FH．根據線段的和差即可得到結論；

（1）解：過點A作AP⊥AB于點P．

∵BH⊥CF，

∴∠APB＝∠CGB＝90°，

∵，

∴∠ABP+∠GBC＝∠CBG+∠GBC＝90°，

∴∠ABP＝∠CBG，

在△ABP與△BCG中，

∴△ABP≌△BCG(AAS)，

∴BP=CG，AP=BG，

∵GE=GC，

∴BP=GE，

∴PE=BG，

∴PE=PA，

又∵

∴△APE是等腰直角三角形，．

（2）解：BH+HF＝CF，理由如下：

過點A作AK⊥AB交BH的延長線于點K．

∴∠BAK＝∠CBF＝90°，

∴∠K+∠ABK＝∠CFB+∠ABK＝90°，

∴∠K＝∠CFB，

在△ABK與△BCF中，

，

∴△ABK≌△BCF(AAS)，

∴AK＝BF，BK＝CF．

∵F為AB的中點，

∴AF＝BF，

∴AK＝AF，

又∵△APE是等腰直角三角形， ．

∴∠HAK＝∠HAF

在△AKH與△AFH中，

∴△AKH≌△AFH(SAS)，

∴HK＝HF，

∴BH+HF＝BH+HK＝BK＝CF．