Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，tan∠ACO=，

（1）求B、C兩點的坐標；
（2）把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求直線DE的解析式；
（3）若點M在直線DE上，平面內是否存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）C的坐標是：（6，0），B的坐標是（6，6）。
（2）直線DE的解析式是：y=x﹣6。
（3）N的坐標是：（3，）或（﹣3，）或（，3）。

試題分析：（1）根據三角函數求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標即可得到。
解：在直角△OAC中，，
∴設OA=x，則OC=3x，
根據勾股定理得：（3x）²+（x）²=AC²，即9x²+3x²=144，解得：x=2。
∴C的坐標是：（6，0），B的坐標是（6，6）。
（2）直線DE是AC的中垂線，應用待定系數法以及銳角三角函數定義即可求得DE的解析式。
解：∵F是AC的中點，∴根據對折的性質，F的坐標是（3，3）。
設D（d，0），則根據對折的性質，E（，6）。
如圖，過點E作EH⊥OC于點H，則HE=6，DH=。

易證∠DEH=∠ACO，
∵，∴，
即，解得。
∴D（，0）
設直線DE的解析式是y=" k" x+b，將點D、F的坐標代入，得
，解得
∴直線DE的解析式是：y=x﹣6。
（3）分當FM是菱形的邊和當OF是對角線兩種情況進行討論，利用三角函數即可求得N的坐標：
OF=AC=6。
∵，
∴30°。∴DE與x軸夾角是60°。
當FM是菱形的邊時（如圖），ON∥FM，

則∠NOC=60°或120°。
當∠NOC=60°時，過N作NG⊥y軸，
∴NG=ON•sin30°=6×=3，OG=ON•cos30°=6×=。
∴N的坐標是（3，）。
當∠NOC=120°時，與當∠NOC=60°時關于原點對稱，則N的坐標是（﹣3，）。
當OF是對角線時（如圖），MN關于OF對稱。

∵F的坐標是（，3），∴∠FOD=∠NOF=30°。
在Rt△ONH中，OH=OF=3，。
作NL⊥y軸于點L，
在Rt△ONL中，∠NOL=30°，
∴NL=ON=，OL=ON•cos30°=2×=3。
∴N的坐標是（，3）。
綜上所述，N的坐標是：（3，）或（﹣3，）或（，3）。