Question

【題目】類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整． 原題：如圖1，在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證： ．

（1）嘗試探究：在圖1中，由DP∥BQ得△ADP△ABQ（填“≌”或“∽”），則 = ， 同理可得 = ，從而 ．
（2）類比延伸：如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交DE于M、N兩點，若AB=AC=1，則MN的長為 ．
（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交于DE于M、N兩點，AB＜AC，求證：MN2=DMEN．

Answer 1

【答案】
（1）S；
（2）
（3）解：證明：如圖3，∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC，

∴ ，

∴DGEF=CFBG，

又∵DG=GF=EF，

∴GF2=CFBG，

由（1）得 = = ，

∴ × = × ，

∴（ ）2= × ，

∵GF2=CFBG，

∴MN2=DMEN．

【解析】（1）解：如圖1，∵DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ，
∴ = ，
同理可得△ACQ∽△APE，
∴ = ，
∴ = ．
所以答案是：∽，

2）解：如圖2所示，作AQ⊥BC于點Q．
∵BC邊上的高AQ= ，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF，
∴DE：BC=1：3，
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD= ，DE= ，
∵DE邊上的高為 ，MN：GF= ： ，
∴MN： = ： ，
∴MN= ．
所以答案是：

【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．