Question

【題目】已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）求證：P是線段AF的中點；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA；

（2）證明：∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°，

∴∠1=∠5=∠2，

∴PD=PA，

∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°，且∠ADB=90°，

∴∠3=∠4，

∴PD=PF，

∴PA=PF，即P是線段AF的中點；

（3）解：連接CD，

∵∠CBD=∠DBA，

∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，

∵∠ADB=90°，

∴AB=5，

故⊙O的半徑為2.5，

∵DE×AB=AD×BD，

∴5DE=3×4，

∴DE=2.4．

即DE的長為2.4．

【解析】（1）利用角平分線的性質得出∠CBD=∠DBA，進而得出∠DAC=∠DBA；（2）利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進而求出∠PDF=∠PFD，則PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；（3）利用勾股定理得出AB的長，再利用三角形面積求出DE即可．