Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑R=5，cosA=，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切，理由見解析；

（2）CD=．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質得出OD⊥DE，進而得出答案；

（2）在Rt△ABC中根據AC=求得AC，在RT△ABD中由AD=ABcosA求得AD，即可得答案．

試題解析：（1）直線DE與⊙O相切．

理由如下：連接OD．

∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，又∵∠BDE=∠A，∴∠ODA=∠BDE，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=90°，即∠ODA+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；

（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt△ABC中，∵cosA==，∴AC===，

又∵在RT△ABD中，AD=ABcosA=10×=8，

∴CD=AC﹣AD=﹣8=．