Question

【題目】已知甲同學手中藏有三張分別標有數字，，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有數字1，3，2的卡片，卡片外形相同．現從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數字分別記為a，b．

（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果．

（2）現制定這樣一個游戲規則：若所選出的a，b能使得ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，則甲獲勝；否則乙獲勝．請問這樣的游戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不公平

【解析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果；
（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規是否公平．

解：（1）畫樹狀圖得：

∵（a，b）的可能結果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴（a，b）取值結果共有9種；
（2）∵當a=，b=1時，△=b2-4ac=-1＜0，此時ax2+bx+1=0無實數根，
當a=，b=3時，△=b2-4ac=7＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=，b=2時，△=b2-4ac=2＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=，b=1時，△=b2-4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數根，
當a=，b=3時，△=b2-4ac=8＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=，b=2時，△=b2-4ac=3＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=1，b=1時，△=b2-4ac=-3＜0，此時ax2+bx+1=0無實數根，
當a=1，b=3時，△=b2-4ac=5＞0，此時ax2+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=1，b=2時，△=b2-4ac=0，此時ax2+bx+1=0有兩個相等的實數根，
∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=＞P（乙獲勝）=，
∴這樣的游戲規則對甲有利，不公平．

“點睛”本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．