Question

【題目】如圖，直線AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點M，N，ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，NE交AB于點F，過點N作NG⊥EN交AB于點G．

（1）求證：EM∥NG；

（2）連接EG，在GN上取一點H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線EP交AB于點P，求∠PEG的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）45°.

【解析】

（1）根據平行線的性質以及角平分線得到定義，即可得出∠MEN=90°，再根據NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180°，進而得到EM∥NG；
（2）先設∠HEG=x，則∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°-2x，根據EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根據∠FEH+∠HEN=180°，可得方程2（∠PEG+x）+90°-2x=180°，進而解得∠PEG．

解：（1）∵AB∥CD，

∴∠AMN+∠CNM=180°，

∵ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，

∴∠EMN= ∠AMN，∠ENM=∠MNC，

∴∠EMN+∠ENM=90°，即∠MEN=90°，

又∵NG⊥EN，

∴∠MEN+∠ENH=180°，

∴EM∥NG；

（2）設∠HEG=x，則∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°﹣2x，

∵EP平分∠FEH，

∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），

又∵∠FEH+∠HEN=180°，

∴2（∠PEG+x）+90°﹣2x=180°，

解得∠PEG=45°．