Question

【題目】國家推行“節能減排，低碳經濟”政策后，某環保節能設備生產企業的產品供不應求．若該企業的某種環保設備每月的產量保持在一定的范圍，每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于80萬元，已知這種設備的月產量x（套）與每套的售價y（萬元）之間滿足關系式y＝150﹣2x，月產量x（套）與生產總成本y2（萬元）存在如圖所示的函數關系．

（1）直接寫出y2與x之間的函數關系式；

（2）求月產量x的范圍；

（3）當月產量x（套）為多少時，這種設備的利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）y2＝30x+500；（2）25≤x≤35；（3）月產量為30件時，利潤最大，最大利潤是1300萬元．

【解析】

（1）設函數關系式為y2=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根據題中條件“每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于80萬元”列出不等式組求解月產量x的范圍；
（3）根據等量關系“設備的利潤=每臺的售價×月產量-生產總成本”列出函數關系式求得最大值．

解：（1）設函數關系式為y2＝kx+b，把坐標（30，1400）（40，1700）代入，，

解得：

∴函數關系式y2＝30x+500；

（2）依題意得：，

解得：25≤x≤35；

（3）∵W＝xy1﹣y2＝x（150﹣2x）﹣（500+30x）＝﹣2x2+120x﹣500

∴W＝﹣2（x﹣30）2+1300

∵25＜30＜35，

∴當x＝30時，W最大＝1300

答：當月產量為30件時，利潤最大，最大利潤是1300萬元．