Question

【題目】已知：以O(shè)為圓心的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C為 上一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交射線OB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交射線OC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AE．

（1）如圖1，當(dāng)四邊形AODE為矩形時(shí)，求∠ADO的度數(shù)；
（2）當(dāng)扇形的半徑長(zhǎng)為5，且AC=6時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；
（3）聯(lián)結(jié)BC，試問(wèn)：在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠BCD的大小是否確定？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°

∴AC=OC=OA，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAD=60°，

∴∠ADO=90°﹣∠OAD=30°．

（2）解：如圖2中，作OH⊥AD于H．

∵OA=OC，OH⊥AC，

∴AH=HC=3，

∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，

∴△AOH∽△ADO，

∴ = ，

∴ = ，

∴AD= ，

∴CD=AD﹣AC= ，

∵DE⊥OD，

∴∠EDO=90°，

∴∠AOD+∠EDO=180°，

∴DE∥OA，

∴ = ，

∴ = ，

∴DE= ．

（3）解：如圖3中，結(jié)論：∠BCD的值是確定的．∠BCD=45°．

理由：連接AB、BC．

∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，

又∵∠BAC= ∠BOC，∠ABC= ∠AOC，

∴∠BCD= ∠BOC+ ∠AOC= （∠BCO+∠AOC）= ×90°=45°．

【解析】（1）利用矩形的性質(zhì)，只要證明△OAC是等邊三角形即可求解題中問(wèn)題；（2）作OH⊥AD于H．由△AOH∽△ADO，推出=,可得AD的長(zhǎng)度，CD=AD﹣AC的長(zhǎng)度，由DE∥OA，可得=,即可求出DE；（3）結(jié)論：∠BCD的值是確定的．∠BCD=45°．連接AB、BC．由∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC= ∠BOC，∠ABC= ∠AOC，即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】掌握矩形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答本題的根本，需要知道矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．