Question

【題目】在△ABC中，∠ABC＝90°

（1）如圖1，分別過A、C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為點M，N，求證：△ABM∽△BCN；

（2）如圖2，P是BC邊上一點，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，BP＝2cm，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）8.

【解析】

（1）利用相似三角形的判定易證△ABM∽△BCN；

（2）過P作PM⊥AP，交AC于M，過M作MN⊥PC于N，先證△PMN∽△ABP，求出PN與AB的比，設PN=2t，則AB=t，推出CN=PN=2t，再證△ABP∽△CBA，利用相似三角形對應邊的比相等即可求出t的值，進一步求出CP的值．

（1）證明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠M＝∠N＝90°

∴∠MAB+∠ABM＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABM+∠CBN＝90°，

∴∠MAB＝∠CBN，

∴△ABM∽△BCN；

（2）解：如圖2，過P作PM⊥AP，交AC于M，過M作MN⊥PC于N，

則∠APB+∠MPN＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠MPN＝∠BAP，

又∵∠B＝∠N＝90°，

∴△PMN∽△ABP，

∴，

設PN＝2t，則AB＝t，

∵∠BAP＝∠MPN，∠BAP＝∠C，

∴∠MPC＝∠C，

∴CN＝PN＝2t，

∵∠B＝∠B＝90°，∠BAP＝∠C，

∴△ABP∽△CBA，

∴，

∴（t）2＝2×（2+4t），

解得，x1＝2，x2＝（舍去），

∴PC＝CN+PN＝4t＝4×2＝8．