Question

【題目】操作探究：

數學研究課上，老師帶領大家探究《折紙中的數學問題》時，出示如圖1所示的長方形紙條ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在紙條上任意畫一條截線段MN，將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點K，得到△MNK．如圖2所示：

探究：

（1）若∠1=70°，∠MKN= °；

（2）改變折痕MN位置，△MNK始終是 三角形，請說明理由；

應用：

（3）愛動腦筋的小明在研究△MNK的面積時，發現KN邊上的高始終是個不變的值．根據這一發現，他很快研究出△KMN的面積最小值為，此時∠1的大小可以為 °

（4）小明繼續動手操作，發現了△MNK面積的最大值．請你求出這個最大值．

Answer 1

【答案】(1)、40；(2)、等腰；(3)、45°或135°(4)、最大值為1.3．

【解析】

試題分析：（1）、根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM，∠KMN的度數，根據三角形內角和即可求解；

(2)、利用翻折變換的性質以及兩直線平行內錯角相等得出KM=KN；(3)、利用當△KMN的面積最小值為時，KN=BC=1，故KN⊥B′M，得出∠1=∠NMB=45°，同理當將紙條向下折疊時，∠1=∠NMB=135°；(4)、分情況一：將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC兩種情況討論求解．

試題解析：（1）、如圖1， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°， ∴∠MKN=40°．

(2)、等腰， 理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠MND， ∵將紙片沿MN折疊， BGFYTTTQ ∴∠1=∠KMN，∠MND=∠KMN，

∴KM=KN；

(3)、如圖2，當△KMN的面積最小值為時，KN=BC=1，故KN⊥B′M， ∵∠NMB=∠KMN，∠KMB=90°，

∴∠1=∠NMB=45°，同理當將紙條向下折疊時，∠1=∠NMB=135°，

(4)、分兩種情況：

情況一：如圖3，將矩形紙片對折，使點B與D重合，此時點K也與D重合． MK=MB=x，則AM=5﹣x．

由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6． S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3．

情況二：如圖4，將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕即為AC． MK=AK=CK=x，則DK=5﹣x．

同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1， ∴S△MNK=×1×2.6=1.3． △MNK的面積最大值為1.3．